Professor Fábio: Multiplicação de matrizes

Multiplicação de número real por matriz

Dada uma matriz A = (a_ij)_mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.

Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de

Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real por matriz:

* 1.A = A
* (-1).A = -A
* p.O = O
* 0.A = 0
* p.(A + B) = p.A + p.B
* (p + q).B = p.B + q.B
* p.(q.A) = (p.q).A

Multiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:

Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:

O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).

Propriedades

Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, AB ≠ BA(exceto em casos especiais). Eis um exemplo:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$

Embora multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
O produto é associativo, ou seja:

$\left(AB\right)C=A\left(BC\right)\,$