Lista de exercícios sobre determinantes.

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Lista - Revisão de matrizes

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Lista de exercícios - Multiplicação de matrizes

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Multiplicação de matrizes

Multiplicação de número real por matriz

Dada uma matriz A = (a_ij)_mxn e um número real k, denomina-se matriz  produto do numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.

Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de

Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real por matriz:

* 1.A = A
* (-1).A = -A
* p.O = O
* 0.A = 0
* p.(A + B) = p.A + p.B
* (p + q).B = p.B + q.B
* p.(q.A) = (p.q).A

Multiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:

Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:

O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).

Propriedades

• Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, AB ≠ BA(exceto em casos especiais). Eis um exemplo:

• Embora multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
• O produto é associativo, ou seja:

• O produto distribui sob a soma:

• Propriedade de matrizes transpostas: .

Extraído de http://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-matrizes-multiplicacao/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_de_matrizes

Matrizes - Lei de formação

Lei de formação de uma matriz 

     Toda matriz pode ser declarada através de uma lei de formação para seus elementos que consiste numa função ordinal de duas variáveis. Estas variáveis assumem os valores dos índices que designam a posição (linha e coluna) de cada elemento da matriz. Assim, obtemos o valor de um elemento aij de uma matriz Am×n calculando a imagem da função no ponto (i, j), ou seja, aij = f( i , j ). 

     A sentença que declara uma matriz de forma condensada usando as funções ordinais pode parecer assustadora, por isso vamos observá-la com calma: 

A = (aij )mxn  tal que aij  = f( i , j )

     Primeiro lemos a letra que designa o nome da matriz: A. Depois, entre os parênteses a letra a que designa cada um dos os elementos da matriz. Esta última vem acompanhada de dois índices algébricos  i e  j que indicam respectivamente a linha e a coluna de um elemento específico. Do lado de fora do parêntese, há um outro índice composto por dois números  m e  n que indicam o formato da matriz. Desta forma devemos tomar  i e  j como variáveis ordinais cujos valores máximos são respectivamente m e n. 

     Isso tudo serve para definir o formato da matriz, ou seja, quantas são suas linhas e suas colunas, além de apresentar as letras que indicarão as posições específicas de cada elemento, neste caso i e j, pois elas serão tomadas como variáveis na função f (lei de formação) que expressa cada elemento da matriz em função dos números que representam a linha e a coluna em que este elemento se situa. 
     Sendo I o conjunto dos números naturais de 1 até m e J o conjunto dos naturais de 1 até n temos que o domínio da função f é o produto cartesiano I×J, ou seja, o conjunto de todos os pares ordenados de números naturais cuja abscissa varia de 1 a m e a ordenada varia de 1 a n. Finalmente, a matriz A consiste numa apresentação organizada da imagem da função f na forma de uma tabela.


Exemplos:

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação a_ij = 3i + 2j.

 Vamos escrever a matriz B dada por (a_ij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

Extraído de :

http://www.matematiao.com.br/site/wp-content/uploads/2012/07/%C3%81lgebra-linear.pdf acesso em 19/02/2013

http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm acesso em 19/02/2013

Matrizes - Adição e Subtração

Adição

Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.
Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.
Concluímos que: 

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com C de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.

Veja o exemplo abaixo:
Dado a matriz A = e matriz B = , se efetuarmos a soma dessas matrizes teremos:

Somaremos os termos correspondentes em cada matriz:


Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C = .

Propriedades da Adição

Sendo ,  e  matrizes do mesmo tipo (), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: 
b) associativa: () + C = A + (B + C)
c) elemento neutro: , sendo  a matriz nula 
d) elemento oposto: 

Subtração

Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.
Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.
Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11

Veja o exemplo abaixo:
Dada a matriz A = e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 

Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:

Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma matriz C =


Referências:
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-matrizes.htm acesso em 19/02/2013.
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node51.html acesso em 19/02/2013

Matrizes - Definição e classificação

DEFINIÇÃO: Denomina-se matriz a toda tabela retangular formada por números dispostos ordenadamente em linhas e colunas. Se uma matriz possui m linhas e n colunas, então dizemos que ela é do tipo m x n, ou ainda, de ordem m x n. Utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto para indicar as matrizes: A, B, C, D, …, etc. Além disso, os números que ficam dispostos em linhas e colunas podem ser colocados entre parênteses ou colchetes, conforme o exemplo abaixo: EXEMPLO: Observe as matrizes abaixo:  

 Neste exemplo, as matrizes são do tipo 2 x 2, pois possuem 2 linhas e 2 colunas. Podemos abreviar uma matriz A da seguinte forma: 

A = [ aij ]m x n onde i representa a linha e j a coluna que o elemento ocupa. 

Classificação de Matrizes

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas. 

►Matriz linhas 

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo: 

1 x 3 

►Matriz coluna 

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo: 

5 x 1 

►Matriz nula 

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: 



Podendo ser representada por 0_{3 x 2}. 

►Matriz quadrada 

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo: 



Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal. 




►Matriz diagonal 

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo: 



►Matriz identidade 

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo: 




►Matriz oposta 

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz: 




A matriz oposta a ela é: 




Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos. 


►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes 

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais. 



As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.



Referências:
http://www.brasilescola.com/matematica/tipos-matrizes.htm acesso em 19/02/2013
www.casdvest.org.br acesso em 19/02/2013

Lista de exercícios sobre lei de formação de matrizes.

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Lista de exercícios sobre adição e subtração de matrizes

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Lista de exercícios sobre igualdade e classificação de matrizes

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