Sistemas Lineares 2x2

Resolução de um sistema 2x2

Resolver um sistema linear 2 × 2 significa obter o conjunto solução do sistema.

Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e o método da adição.

Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2 × 2 abaixo usando os dois métodos citados.



1) Método da Substituição:



Da equação (II), obtemos x = y –1, que substituímos na equação (I)

2(y – 1) + 2 · (3) = 8 5 y = 10 y =2

Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos:

2x + 3 = 8 2x = 2 x = 1

Assim: S = {(1, 2)}

2) Método da Adição:





Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a membro, com a equação I.



Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos:

2 · 1 + 3y = 8 y = 2

Assim: S = {(1, 2)}


Discussão de um sistema linear


O sistema linear consiste na relação mútua entre duas ou mais equações, ou seja, equações que compartilham da mesma solução ou do mesmo conjunto solução. Com esse fato surgem as classificações quanto aos conjuntos, sendo elas: Sistema Possível Determinado (apenas uma solução), Sistema Possível Indeterminado (várias soluções), Sistema Impossível (nenhuma solução).












Referências bibliográficas:

http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/1795.htm acesso em 19/02/2013.

http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm acesso em 19/02/2013.

http://www.slideshare.net/AngelicaBrasil/anlise-grfica-de-sistemas-lineares acesso em 19/02/2013

Determinantes

Matriz de ordem 1


O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 é o valor do próprio elemento.


Matriz de ordem 2

Dada a matriz A de ordem dois A = , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.



O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.

det A = = - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7


Matriz de ordem 3

Dada a matriz de ordem 3, B = o valor numérico do seu determinante é calculado da seguinte forma:

Primeiro representamos essa matriz em forma de determinante e repetimos as duas primeiras colunas.

det B =

Depois calculamos os produtos das diagonais principais e os produtos das diagonais secundárias.

det B =

Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais.

Det B = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59

Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.


Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2


1.0 Se In é a matriz identidade, então: det(In) = 1

2.0 Se N é uma matriz nula, então: det(N) = 0

3.0 Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(A) = 0

4.0 A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é: det(At) = det(A)

5.0 Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então: det(B) = k det(A)

6.0 Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: det(B) = - det(A)

7.0 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: det(A) = 0

8.0 Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então: det(A) = 0

9.0 Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então: det(A) = 0

10.0 Se A é uma matriz triangular, então: det(A) é igual ao produto de sua diagonal principal.


Referências bibliográficas:

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/determinante-matriz-ordem-1-2-ou-3.htm acesso em 19/02/2013

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/determinantes.htm acesso em 19/02/2013

http://www.colegioweb.com.br/matematica/matriz-de-ordem-2.html acesso em 19/02/2013

Lista de exercícios sobre sistemas lineares 2x2

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